浮点数在内存中的存储
计算机中只能存储二进制数，对于浮点数，IEEE754 标准中定义了在计算机中如何存储浮点数。标准中定义了四种表示浮点数类型的方式，分为单精度（32比特）、双精度（64比特），拓展单精度（43比特以上，很少使用）和拓展双精度（79比特以上，通常用 80 比特表示）。我们以单精度浮点数为例来介绍浮点数的存储。
浮点数存储
浮点数表示
一个浮点数可以表示为：
\[Value = sign \times exponent \times fraction\]即：
\[\pm fraction * 2^{exponent}\]浮点数在存储时也按这种表示法被分为三部分，符号部分(sign)，指数部分(exponent)和尾数部分(fraction)。
单精度浮点数中符号位占 1 位，指数部分占 8 位，尾数部分占后 23 位：
双精度浮点数中符号位占 1 位，指数部分占 11 位，尾数部分占后 52 位：
拓展双精度浮点数中符号位占 1 位，指数部分占 15 位，尾数部分占后 64 位：
各部分详解
- 符号位：0 表示正值，1 表示负值。
- 指数位：指数位在存储时为了保证无符号，会使用移码来表示，即在指数值上添加一个偏移量，这个偏移值是固定的，为 $ 2^{n - 1} - 1 $，n 为指数位的位数。如单精度偏移值为 $ 2^{8-1} - 1=127 $，双精度偏移值为 $ 2^{11 - 1} - 1=1023 $。
- 尾数位：每个浮点数最后都会转化为尾数在[1,2)之间，如 20.5 转化为浮点数表示为 1.01001 * 2 ^ 4。因为尾数都在[1,2)之间，所以会省略小数点前的 1，只存储小数点后的位。不够位数后面补 0。
浮点数存储示例
现在我们用一个示例来看浮点数是怎么存储的，比如 -13.375，因为是负值，因此符号位为 1，然后我们将除去符号位的部分 13.375 转为二进制为：1101.011，此值表示为指数形式为 1.101011 * 2^3，指数部分为 3，将其加上偏移量 3+127=130，指数部分为 130，二进制为 1000 0010，尾数部分将 1.101011 舍去小数点前的位数，并在其后添加 0 到 23 位后值为 1010 1100 0000 0000 0000 000。因此 -13.375 在内存中存储为：
1100 0001 0101 0110 0000 0000 0000 0000
验证代码：
// 小端打印二进制
void print_binary4(char* ptr)
{
for (int i = 3; i >= 0; i--) {
for (int j = 0; j < 8; j++) {
printf("%1u", (ptr[i] >> (7-j) & 0x01));
if (j == 3)
printf(" ");
}
printf(" ");
}
printf("\n");
}
int main(int argc, char* argv[])
{
float f = -13.375;
printf("f:%f binary:\n", f);
print_binary4((char*)(&f));
return 0;
}
打印结果为：
非规约数
我们之前看的都是规约数（normal number），还有一种百规约数（subnormal number），有四种形式：
- 指数为 0，且尾数部分为 0，表示 0。
- 指数为 0，且尾数部分为 0，表示非常接近于 0 的数。
- 指数为 2 ^ (n-1) （即全1），尾数部分为 0，表示正负无穷大(infinity)。
- 指数为 2 ^ (n-1) （即全1），尾数部分不为 0，表示NaN（not a number）。